题目内容

如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AB=3，DC=6，CB=5．点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，并且AE=AF，连接EF，与边BC相交于点G．设BF=x，DE=y．
（1）直接写出边AD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为以BG为腰的等腰三角形？如果能，请求出线段B精英家教网F的长；如果不能，请说明理由．
分析：（1）过点B作BM⊥CD于M，可得四边形ADMB是矩形，然后利用勾股定理，即可求得边AD的长；
（2）由AE=AF=AB+BF=3+x，又由DE=y，AD=4，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求得y关于x的函数关系式，当E与D重合时，x最小，当E与C重合时y最大；
（3）分别从BG=BF与BG=GF去分析求解，利用平行线分线段成比例与等腰三角形的性质，即可求得答案．
解答：精英家教网解：（1）∵过点B作BM⊥CD于M，
∵AB∥DC，∠D=90°，
∴∠D=∠ABM=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，
∴BM=AD，DM=AB=3，
∴CM=CD-DM=6-3=3，
在Rt△BMC中，
BM=
BC2-CM2
=4，
∴AD=4；

（2）在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
∵BF=x，
∴AF=AB+BF=3+x，
∵AE=AF=3+x，DE=y，
∴（3+x）2=y2+16，
∴y=
x2+6x-7
，
当E与D重合，y=0，则x=AD-AB=1，
当E与C重合：AC=
AD2+CD2
=2
13
，
∴x=2
13
-3，
∴1≤x≤2
13
-3，
∴y关于x的函数关系式为y=
x2+6x-7
，自变量x的取值范围为1≤x≤2
13
-3；

（3）①若BG∥AE，
则
BF
AF
=
BG
AE
，
∵AE=AF，
∴BF=BG，
∴
BF
AB
=
FG
EG
，
∵AB∥CD，
∴
BF
EC
=
FG
EG
，
∴
BF
AB
=
BF
EC
，
∴EC=AB=3，
则DE=CD-EC=3，
∵AD=4，
∴AE=AF=5，
∴BF=AF-AB=2；
②若BG=GF，
精英家教网过点G作GN⊥CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥AB，
∴四边形ADNM是矩形，
∴AM=DN，
∵BG=GF，AB∥CD，
∴EG=CG，
∴BM=
1
2
BF=
1
2
x，
EN=
1
2
EC=
1
2
（CD-DE）=
6-y
2
，
∴3+
x
2
=y+
6-y
2
，
∴x=y，
∵（3+x）2=y2+16，
∴（3+x）2=x2+16，
解得：x=
7
6
．
综上，当BF=2或
7
6
时，△BFG是以BG为腰的等腰三角形．
点评：此题考查了直角梯形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．
练习册系列答案
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2
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是
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是
（填“是”或“否”）．
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1
2
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（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
1
2
∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．
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AM
MB
=
m
n
，则有结论：MN=
bm+an
m+n
．
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