Question

若

b+c

a

=

a+c

b

=

a+b

c

，则

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

的值是

 

．

Answer 1

分析：先设

b+c

a

=

a+c

b

=

a+b

c

=k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．

解答：解：设

b+c

a

=

a+c

b

=

a+b

c

=k，
于是b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，
①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），
∴当a+b+c≠0，则k=2，
∴

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

kc•ka•kb

abc

=k³=8；
当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
∴

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

-a•(-b)•(-c)

abc

=-1．
故答案是8或-1．

点评：本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入．