Question

如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABDE，设正方形的中心为O，连接AO．若AC=2，CO=3

2

，则正方形ABDE的边长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：压轴题

分析：把△ACO绕点A逆时针旋转90°得到△AC′O′，根据旋转的性质可得AC′=AC，∠CAC′=90°，C′O′=CO，AO′=AO，然后判断出△ACC′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出CC′，连接OB，然后求出点A、C、O、B四点共圆，求出∠BCO=∠OAB=45°，然后求出∠AC′O′=∠ACO=135°，判断出点C、C′、O′三点共线，过点A作AF⊥CC′于F，根据等腰直角三角形的性质可得AF=C′F=

1

2

CC′，再求出O′F，然后利用勾股定理列式求出AO′，再根据正方形的性质求解即可．

解答：解：如图，把△ACO绕点A逆时针旋转90°得到△AC′O′，
∴AC′=AC=2，∠CAC′=90°，C′O′=CO=3

2

，AO′=AO，
∴△ACC′是等腰直角三角形，
CC′=

2

AC=2

2

，
连接OB，
∵正方形的中心为O，
∴∠AOB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴点A、C、O、B四点共圆，
∴∠BCO=∠OAB=45°，
∴∠AC′O′=∠ACO=135°，
又∵∠ACC′+∠AC′O′=45°+135°=180°，
∴点C、C′、O′三点共线，
过点A作AF⊥CC′于F，则AF=C′F=

1

2

CC′=

2

，
∴O′F=O′C′+C′F=3

2

+

2

=4

2

，
在Rt△AFO′中，AO′=

AF2+O′F2

=

2 2+(4 2 )2

=

34

，
∴正方形ABDE的边长AB=

2

AO=

2

AO′=

2

×

34

=2

17

．
故答案为：2

17

．

点评：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，四点共圆的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于作辅助线构造出全等三角形和直角三角形．