Question

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，⊙O分别切边AB、BC于 D、E两点，交AC于G、F两点．
（1）如图1，当FG=

1

2

时，求⊙O的直径；
（2）如图2，当⊙O的直径为

3

2

时，求∠DEF的度数．

Answer 1

考点：切线的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）连接DG，DF，作直径DN，连接GN，连接BO交AC于Q，求出AQ，求出QG，求出AG，根据切割线定理求出AD，即可求出BD，在Rt△BDO中，∠BDO=90°，∠DBO=

1

2

∠ABC=30°，求出DO，即可求出直径．
（2）连接DO，BO，EO，BO交DE于M，求出∠DOB=∠EOB=60°，求出∠EOF，求出∠OEF，再求出∠DEO，相加即可．

解答：
解：（1）如图1，连接DG，DF，作直径DN，连接GN，连接BO交AC于Q，
∵⊙O切AB于D，切BC于E，
∴BQ平分∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BQ⊥AC，AQ=CQ=

1

2

AC=

1

2

，
由垂径定理得：GQ=FG=

1

2

GF=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
∴AG=

1

2

-

1

4

=

1

4

，
∵DN为直径，
∴∠DGN=90°，
∴∠GDN+∠N=90°，
∵⊙O切AB于D，
∴∠ADO=90°，
∴∠ADG+∠GDN=90°，
∴∠N=∠ADG，
∵∠N=∠DFG，
∴∠ADG=∠DFG，
∵∠A=∠A，
∴△ADG∽△AFD，
∴

AD

AG

=

AF

AD

，
AD²=AG×AF=

1

4

×（1-

1

4

）=

3

16

，
∴AD=

3

4

，
∴BD=1-

3

4

，
在Rt△BDO中，∠BDO=90°，∠DBO=

1

2

∠ABC=30°，
∴DO=BD•tan30°=

3

3

-

1

4

，
即⊙O的直径是2×（

3

3

-

1

4

）=

2 3

3

-

1

2

．

（2）如图2，连接DO，BO，EO，BO交DE于M，
由（1）知：∠BDO=90°，∠DBO=30°，
∴∠DOB=60°，
同理∠EOB=60°，
∵由（1）知：BO⊥AC，
∴∠BOF=90°，
∴∠EOF=90°-60°=30°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=

1

2

（180°-∠EOF）=75°，
∵⊙O切AB于的，切BC于E，
∴BE=BD，OB平分∠ABC，
∴∠OEB=∠OME=90°，
∴∠OEM=180°-90°-60°=30°，
∴∠DEF=∠OEM+∠OEF=30°+75°=105°．

点评：本题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大．