Question

（本题满分9分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点

D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

 

Answer 1

（1）直线DE与⊙O相切，见解析；（2）4

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由AD平分∠BAC ，EA∥OD证出OD⊥DE,即可得证直线DE与⊙O相切；

（2）作DF⊥AB，垂足为F，证明△EAD≌△FAD，得出OA＝OD＝5，OF＝3，再由勾股定理得DF＝4，进而求出DE＝DF＝4.

试题解析：（1）直线DE与⊙O相切．

理由如下：连接OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠OAD．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．

∴∠ODA＝EAD．

∴EA∥OD．

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD．

又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．

（2）如图，作DF⊥AB，垂足为F．

∴∠DFA＝∠DEA＝90°．

∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，

∴△EAD≌△FAD．

∴AF＝AE＝8，DF＝DE．

∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．

在Rt△DOF中，由勾股定理，得DF＝4

∴DE＝DF＝4．

考点：切线的性质和判定,勾股定理