Question

函数y=y₁+y₂，且y₁=2x+m，y₂=

x

m-1

+3，这两个函数图象交点的纵坐标为4．
①求y关于x的函数解析式；
②若函数y=y₁+y₂图象交两坐标轴于A、B两点，将此直线沿点A（x轴上）顺时针旋转90°后，交y轴于点C，求直线AC．

Answer 1

考点：一次函数图象与几何变换,待定系数法求反比例函数解析式

专题：

分析：①把y=4代入两个函数解析式，可得到两个关于m的方程组，进而求解；
②先求出点A、点B的坐标，再根据△OAC∽△OBA列出比例式求出OC的长，确定C点坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可．

解答：解：①由已知，设两个函数图象交点的坐标为（x，4），
则有

2x+m=4 x m-1 +3=4

，
解得

x=1 m=2

．
∵y₁=2x+m=2x+2，y₂=

x

m-1

+3=x+3，
∴y=y₁+y₂=3x+5，
故y关于x的函数解析式为y=3x+5；

②∵y=3x+5，
∴当y=0时，3x+5=0，解得x=-

5

3

，∴A（-

5

3

，0）；
当x=0时，y=5，∴B（0，5）．
在△OAC与△OBA中，

∠AOC=∠BOA=90° ∠OAC=∠OBA=90°-∠OAB

，
∴△OAC∽△OBA，
∴

OC

OA

=

OA

OB

，
∴OC=

OA2

OB

=

25 9

5

=

5

9

，
∴C点坐标为（0，-

5

9

）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（-

5

3

，0），C（0，-

5

9

），
∴

- 5 3 k+b=0 b=- 5 9

，
解得

k=- 1 3 b=- 5 9

，
∴直线AC的解析式为：y=-

1

3

x-

5

9

．

点评：本题考查了利用待定系数法求直线的解析式：先设直线的解析式为y=kx+b，然后把两已知点的坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组即可．也考查了一次函数图象与几何变换，相似三角形的判定与性质．