Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2，过点A作直线m∥x轴，点P在直线m上运动．当点P在⊙A上时，求点P的坐标．若点P的横坐标为12，试猜想直线OP与⊙A的位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,坐标与图形性质

专题：

分析：过A作AD⊥OP，再由OB⊥BP，得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△APD与△OPB相似，根据相似得比例，将各自的值代入求出AD的长，与半径r=2比较大小，即可判断出直线OP与圆A的位置关系．

解答：解：直线OP与⊙A相交．
理由：过点A作AD⊥OP于D，如图所示：
可得∠ADP=90°，
又∵∠PBO=90°，
∴∠ADP=∠PBO，
又∵∠APD=∠OPB，
∴△PAD∽△POB，
又∵PA=PB-AB=12-4=8，OB=3，
在直角△OBP中，OB=3，BP=12，
根据勾股定理得：OP=

BO2+BP2

=

153

，
∴

PA

OP

=

AD

OB

，即

8

153

=

AD

3

，
解得：AD=

24 153

153

≈1.9＜2=r，
∴直线OP与⊙A相交．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，直线与圆的位置关系可以由d与r的大小来判断（r表示圆的半径，d表示圆心到直线的距离），当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．