Question

18．如图，已知⊙O的弦AB，CD相交于点P，PO平分∠APD，求证：AB=CD．

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OA、OD、OP，如图，根据角平分线的性质得OE=OF，则利用勾股定理可得AE=DF，再根据垂径定理得到AE=BE，CF=DF，于是有AB=CD．

解答 证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OA、OD、OP，如图，
∵PO平分∠APD，
∴OE=OF，
在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$，
在Rt△ODF中，DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$，
而OA=OD，
∴AE=DF，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=BE，CF=DF，
∴AB=CD．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．本题的关键是作AB和CD的弦心距．