Question

4．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．

解答 解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{-18+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+6），则FG=|-$\frac{1}{2}$x²+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴$\frac{FG}{BG}$=$\frac{BE}{DE}$，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，
∴BG=6-x，
∴$\frac{|-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6|}{6-x}$=$\frac{4}{8}$，
当点F在x轴上方时，有$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}{6-x}$=$\frac{1}{2}$，解得x=-1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（-1，$\frac{7}{2}$）；
当点F在x轴下方时，有$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}{6-x}$=-$\frac{1}{2}$，解得x=-3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（-3，-$\frac{9}{2}$）；
综上可知F点的坐标为（-1，$\frac{7}{2}$）或（-3，-$\frac{9}{2}$）；

（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，

∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2-n，n），
∵点M在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的图象上，
∴n=-$\frac{1}{2}$（2-n）²+2（2-n）+6，解得n=-1+$\sqrt{17}$或n=-1-$\sqrt{17}$，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，-2+2$\sqrt{17}$）或（2，-2-2$\sqrt{17}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在（3）中确定出P、Q的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．