Question

如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：5，则

MN

BM

的值为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：首先过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：5，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：5，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．

解答：解：过点N作NG⊥BC于G，如图：，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN，
由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AM=AN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形，
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：5，
∴DN：CM=1：5，
设DN=x，
则AN=AM=CM=CN=5x，AD=BC=6x，CG=x，
∴BM=x，GM=4x，
在Rt△CGN中，NG=

CN2-CG2

=

(5x)2-x2

=2

6

x，
在Rt△MNG中，MN=

GM2+NG2

=

(4x)2+(2 6 x)2

=2

10

x，
∴

MN

BM

=

2 10 x

x

=2

10

，
故答案为：2

10

．

点评：此题考查了翻折变换，利用了折叠的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．