Question

【题目】将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、．

如图，若，．

①求证：；②猜想线段、的数量关系，并证明你的猜想；

如图，若，（为常数），求的值（用含、的式子表示）．

Answer 1

【答案】证明①见解析； ②猜想：，证明见解析； .

【解析】

（1）由旋转性质证明△ABD为等边三角形，则∠DAB=∠ABC=60°，所以DA∥BC；

（2）①如答图1所示，作辅助线（在DF上截取DG=AF，连接BG），构造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF；进而证明△BGF为等边三角形，则GF=BF=AF；从而DF=2AF；

②与①类似，作辅助线，构造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF，由此可知△BGF为顶角为α的等腰三角形，解直角三角形求出GF的长度，从而得到DF长度，问题得解．

证明：①由旋转性质可知，，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∴．

②猜想：．

证明：如答图所示，在上截取，连接．

由旋转性质可知，，．

∵在与中，

∴，

∴，．

∵，

∴，即，

又∵，

∴为等边三角形，

∴，又，

∴．

∴．

解：如答图所示，在上截取，连接．

由，同理可证明，，．

过点作于点，

∵，∴点为中点，．

在中，．

∴

∴，

∴．