Question

如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（），对称轴为直线，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．

（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）。
（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得C D=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形。
（3）抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P₁（），P₂（），P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）

解析分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得C D=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形。
（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P就是抛物线y=x²+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个。
解：（1）∵二次函数图象的对称轴为直线，∴设二次函数的解析式为：，
∵点A（0，﹣3），B（）在抛物线上，
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为：，即。
（2）证明：如图，连接CD、DE、EF、FC，

∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴四边形PMON为矩形。
∴PM=ON，PN=OM。
∵PC=MP，OE=ON，∴PC=OE。
∵MD=OM，NF=NP，∴MD=NF。
∴PF=OD。
∵在△PCF与△OED中，，
∴△PCF≌△OED（SAS）。∴CF=DE。
同理可证：△CDM≌△FEN，∴CD=EF。
∵CF=DE，CD=EF，∴四边形CDEF是平行四边形。
（3）假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形，
设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，
则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．
若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，
∴，即，化简得：m²=n²。
∴m=n，即矩形PMON为正方形。
∴点P为抛物线与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点。
联立，解得。
∴P₁（），P₂（）。
联立，解得。
∴P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）。
∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P₁（），P₂（），P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）。