Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上一个动点，点F，M，N分别是DC，DE，CE的中点．

（1）求证：△DMF≌△FNC；

（2）若四边形MFNE是正方形，求AD：AB的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AD：AB＝1：2．

【解析】

（1）由三角形中位线定理可得DM＝EM＝FN，MF＝EN＝CN，DF＝CF，由“SSS”可证△DMF≌△FNC；

（2）由正方形的性质可得EN＝NF＝EM＝MF，NE⊥EM，可得DE＝EC，可得∠EDC＝∠ECD＝45°，可证AD＝AE，BC＝BE，即可求AD：AB的值．

证明：（1）∵点F，M，N分别是DC，DE，CE的中点．

∴DM＝EM＝FN，MF＝EN＝CN，DF＝CF

∴△DMF≌△FNC（SSS）

（2）∵四边形MENF是正方形．

∴EN＝NF＝EM＝MF，NE⊥EM，

∴DE＝EC

∴∠EDC＝∠ECD＝45°，

∵AB∥CD

∴∠AED＝∠EDC＝45°，∠BEC＝∠ECD＝45°

∴∠A＝∠B＝90°

∴∠AED＝∠ADE＝45°，∠BEC＝∠BCE＝45°

∴AD＝AE，BC＝BE，

∴AB＝AE+BE＝2AD

∴AD：AB＝1：2．