Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N

（1）如图1，当点F为BE的中点时，求证：AM=CE；

（2）如图2，若==n（n≥3）时，请直接写出的值；

（3）若矩形ABCD（AB＞BC）对角线AC交MN于T，H为边BC上一点，∠CMH=45°且=（如图3）．若CF平分∠ACB，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）如图1中，证明△BFM≌△EFC（ASA）即可解决问题；

（2）如图2中，设BC=a，则AB=BC=na，EC=DE=．利用相似三角形的性质求出EF，BF，根据EF：BF=n，构建方程求出n，求出AN，DN（用a表示），即可解决问题；

（3）如图3中，延长NM交CB的延长线于G，作CK⊥CM交MH的延长线于K，作KJ⊥BC于J．由△CBM≌△KJC（AAS），推出BM=CJ，BC=JK，设BM=CJ=x，由BH：CH=1：5，可以假设BH=x，CH=5x，由BM∥JK，推出=，可得=，解得x=3a或2a（舍弃），再想办法求出MF，MT即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠MBF=∠CEF，

∵BF=EF，∠BFM=∠CFE，

在△BFM和△EFC中，

，

∴△BFM≌△EFC（ASA），

∴BM=CE，

∵DE=EC=CD，

∴BM=AB，

∴AM=BM=EC．

（2）解：如图2中，设BC=a，则AB=CD=na，EC=DE=．

则EB=，

由CF⊥BE，可得EF==，BF==，

∵EF：BF=n，

∴：=n，

解得n=4或0（舍弃），

∴AB=DC=4a，EC=DE=2a，

易知BM=a，AM=a，AN=a，DN=a-a=a，

∴==．

（3）解：如图3中，延长NM交CB的延长线于G，作CK⊥CM交MH的延长线于K，作KJ⊥BC于J．

∵∠CMK=45°，∠MCK=90°，

∴CM=CK，

∵∠MCB+∠CMB=90°，∠MCB+∠BCK=90°，

∴∠CMB=∠BCK，

在△CBM和△KJC中，

，

易证△CBM≌△KJC（AAS），

∴BM=CJ，BC=JK，设BM=CJ=x，

∵BH：CH=1：5，

∴可以假设BH=x，CH=5x，

∵BM∥JK，

∴=，

∴=，

解得x=3a或2a（舍弃），

∵CM平分∠ACB，易证=，

∴=，

∴AC=2AM，设AM=y，则AC=2y，

∵AC2=AB2+BC2，

∴4y2=（y+3a）2+（6a）2，

解得y=5a（负根已经舍弃），

∴AM=5a，AB=CD=8a，EC=4a，CM==3a，

∵BM∥EC，

∴==，

∴MF=×3a=a，

∵CM⊥TG，CM平分∠TCG，

∴易证MT=MG，

由△MBG∽△CBM，可得MG=a，

∴MT=a，

∴==．