Question

12．如图，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合．直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）求OC的长度；
（3）已知点P从点O出发，以每秒钟2个单位长度沿OB、BA运动到点A停止运动，设运动时间为t，问t为何值时，三角形OAP的面积等于三角形OAB面积的$\frac{2}{3}$？

Answer 1

分析 （1）对于一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6，令x=0或y=0，解方程即可解决问题．
（2）设OC=x，则CB=CA=8-x，在Rt△BOC中，根据BC²=OB²+OC²，列出方程即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①）①当P在OB上时，OP=$\frac{2}{3}$OB时，三角形OAP的面积等于三角形OAB面积的$\frac{2}{3}$，②当P在AB上时，AP=$\frac{2}{3}$AB时，三角形OAP的面积等于三角形OAB面积的$\frac{2}{3}$，列方程求解即可．

解答 解：（1）对于一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6，令x=0得y=6，令y=0得x=8，
∴A（8，0），B（0，6）．

（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
设OC=x，则CB=CA=8-x，
在Rt△BOC中，∵BC²=OB²+OC²，
∴6²+x²=（8-x）²，
∴x=$\frac{7}{4}$，
∴OC=$\frac{7}{4}$．

（3）①当P在OB上时，OP=$\frac{2}{3}$OB时，三角形OAP的面积等于三角形OAB面积的$\frac{2}{3}$，
∴2t=$\frac{2}{3}$×6，
∴t=2，
②当P在AB上时，AP=$\frac{2}{3}$AB时，三角形OAP的面积等于三角形OAB面积的$\frac{2}{3}$，
∴AP=$\frac{20}{3}$，
BP=10-$\frac{20}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴2t=6+$\frac{10}{3}$，
∴t=$\frac{14}{3}$，
综上所述，t=2s或$\frac{14}{3}$s时，三角形OAP的面积等于三角形OAB面积的$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查一次函数综合题、三角形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．