Question

5．在△ABC中，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点．
（1）如图1，若EF∥BC、DF∥AB，连CE、AD分别交DF、EF于N、M，且E为AB的中点，求证：EM=MF；
（2）如图2，在（1）中，若E不是AB的中点，请写出与MN平行的直线，并证明；
（3）若BD=DC，∠B=90°，且AE：AB：BC=1：3：2$\sqrt{3}$，AD与CE相交于点Q，直接写出tan∠CQD的值．

Answer 1

分析 （1）先证明BD=DC，再证明EM、MF分别是△ABD，△ADC的中位线即可．
（2）结论：MN∥AC，只要证明$\frac{EM}{MF}$=$\frac{EN}{NC}$即可．
（3）如图3中，作DN∥AB交CE于N，CM⊥AD交AD的延长线于M，不妨设AE=a．则AB=3a，EB=2a．BC=2$\sqrt{3}$a，BD=DC=$\sqrt{3}$a，由tan∠BAD═$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠BAD=30°，∠DCM=30°，再证明△AEQ≌△DNQ，得AQ=QD，求出QD即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵AE=EB，EF∥AC，
∴AF=FC，AM=MD，∵FD∥AB，
∴BD=CD，
∴EM=$\frac{1}{2}$BD，MF=$\frac{1}{2}$CD，
∴EM=MF．

（2）结论：MN∥AC．
证明：如图2中，

∵AE∥DF，
∴$\frac{EM}{MF}$=$\frac{AM}{DM}$，
∵MF∥BC，
∴$\frac{AM}{DM}$=$\frac{AF}{FC}$，
∵FN∥AE，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{EN}{NC}$，
∴$\frac{EM}{MF}$=$\frac{EN}{NC}$，
∴MN∥CF．

（3）如图3中，作DN∥AB交CE于N，CM⊥AD交AD的延长线于M．

∵AE：AB：BC=1：3：2$\sqrt{3}$，
不妨设AE=a．则AB=3a，EB=2a．BC=2$\sqrt{3}$a，BD=DC=$\sqrt{3}$a，
∴tan∠BAD═$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAD=30°，∠ADB=∠CDM=60°，
∴∠DCM=30°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CM=$\frac{3}{2}$a，'
∵BD=DC，DN∥EB，
∴EN=NC，
∴DN=$\frac{1}{2}$EB=a=AE，
∵AE∥DN，
∴∠EAQ=∠NDQ，
在△AEQ和△DNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAQ=∠QDN}\\{∠EQA=∠DQN}\\{AE=DN}\end{array}\right.$，
∴△AEQ≌△DNQ，
∴AQ=QD，
∵AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}+（\sqrt{3}a）^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
∴DQ=$\sqrt{3}$a，QM=DQ+DM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a，
∴tan∠CQD=$\frac{CM}{QM}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三角形综合题、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用比例式证明两条直线平行，学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．