Question

17．（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线，试探究：当点P在斜边AB上移动时，∠DCE的大小是否会发生变化，请说明你的理由．
（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上，点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=90°；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是∠BCN-∠ACM=90°；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=270°．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义得出∠DCP=$\frac{1}{2}$∠ACP，∠PCE=$\frac{1}{2}$∠BCP，那么，∠DCE=∠DCP+∠PCE=$\frac{1}{2}$∠ACP+$\frac{1}{2}$∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°；
（2）当点A和点B在直线MN的上方时，根据平角的定义易得∠ACM+∠BCN=90；
当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时，由∠BCN=180°-∠BCM，∠ACM=90°-∠BCM，可得∠BCN-∠ACM=90°；
当点A和点B都在直线MN的下方时，由∠BCN=180°-∠BCM，∠ACM=90°+∠BCM，可得∠ACM+∠BCN=270°．

解答 解：（1）如图1，∠DCE的大小不会发生变化，理由如下：
∵CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线，
∴∠DCP=$\frac{1}{2}$∠ACP，∠PCE=$\frac{1}{2}$∠BCP，
∴∠DCE=∠DCP+∠PCE=$\frac{1}{2}$∠ACP+$\frac{1}{2}$∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°；

（2）当点A和点B在直线MN的上方时（如图2），∠ACM+∠BCN=180°-∠ACB=180°-90°=90°；
当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），
∵∠BCN=180°-∠BCM，∠ACM=90°-∠BCM，
∴∠BCN-∠ACM=（180°-∠BCM）-（90°-∠BCM）=90°；
当点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），
∵∠BCN=180°-∠BCM，∠ACM=90°+∠BCM，
∴∠ACM+∠BCN=（180°-∠BCM）+（90°+∠BCM）=270°．
故答案为90°，∠BCN-∠ACM=90°，∠ACM+∠BCN=270°．

点评 本题考查了角平分线定义，平角的定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键．