Question

【题目】如图①，已知等腰直角中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且于G，AG交BD于F.

（1）求证：AF=BE.

（2）如图②，当点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先证明AD=BD，再证明∠DAF=∠DBE，可利用ASA定理判定△AFD≌△BED，进而得到AF=BE；

（2）方法与（1）类似，利用AAS证明△AFD≌△BED，可得AF=BE．

（1）∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，

∴BD=ADAC，∠ADB=90°，

∴∠1+∠GAD=90°．

∵AG⊥BE于G，

∴∠2+∠DBE=90°．

∵∠1=∠2，

∴∠DAF=∠DBE．

在△AFD和△BED中，

∵，

∴△AFD≌△BED（ASA），

∴AF=BE；

（2）①的结论还能成立．证明如下：

∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，

∴BD=ADAC，∠ADB=90°，

∴∠DBE+∠DEB=90°．

∵AG⊥BE于G，

∴∠GBF+∠F=90°．

∵∠DBE=∠GBF，

∴∠F=∠DEB．

在△AFD和△BED中，

∵，

∴△AFD≌△BED（AAS），

∴AF=BE；