Question

“玉女峰”是武夷山最秀丽的山峰，她亭亭玉立于九曲溪边，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β（此时C、D、B三点在同一直线上）．
（1）用含α、β和m的式子表示；
（2）当α=48°，β=66°，m=50米时，求h的值．（精确到1米）

Answer 1

分析：（1）可分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，用AB表示出BC、BD的长，进而由CD=BC-BD=m得到AB即h的表达式；
（2）将题目给出的值代入（1）得到的关系式中，即可求得h的值．

解答：解：（1）用含α、β和m的式子表示h：在Rt△ABC中，∵tanα=

h

BC

，∴BC=

h

tanα

（2分）
在Rt△ABD中，∵tanβ=

h

BD

，∴BD=

h

tanβ

（4分）
∵m=BC-BD，∴m=

h

tanα

-

h

tanβ

（6分）
∴h=

m•tanα•tanβ

tanβ-tanα

(或h=

m

cotα-cotβ

)；（7分）

（2）当m=50，α=48°，β=66°时，h=

50•tan48°•tan66°

tan66°-tan48°

≈100（米）．
答：h的值约为100米．（10分）

点评：本题考查直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．