题目内容
【题目】如图，将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中，有
，
， 
，且
．现将
绕点
逆时针旋转，旋转角为
．在旋转过程中，直线
分别与直线
，
交于点
，
．
（1）当旋转角
时，求点
的坐标；
（2）在旋转过程中，当
时，求直线的解析式；
（3）在旋转过程中，
能否为等腰是三角形？若能，请求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）当
为
或
或
或
时，
为等腰三角形．
【解析】
（1）过点B作BH⊥x轴于点H，在Rt△AOB中，∠AOB=60°，OA=8，所以
，再利用勾股定理求出OH、BH，即可解答；
（2）分两种情况：Ⅰ当点B在第一象限时（如图2），过点B作BM⊥OC于点M；Ⅱ当点B在第二象限时（如图3），过点B作BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥BE于H；分别求出点A、B的坐标，利用待定系数法求解析式，即可解答；
（3）分三种情况：Ⅰ当0°＜β＜45°时（如图4）；Ⅱ当45°＜β＜75°时（如图5）；Ⅲ当75°＜β＜180°时，分三种情况解答：①FA=FG，②AF=AG，③GA=GF；根据等腰三角形的性质，角之间的和与差，即可解答．
解；（1）如图1，过点
作
轴于点
．
在
中，
，
，
∴∠OAB=30°
．
当
，即
时，则
．
．
．
．
（2）①当点在第一象限时，如图2，过点作
于点
．
，
．
，
．
点
在
轴上，
．
设直线
的解析式为
由题意，得
，
解得
．
直线的解析式为．
②当点在第二象限时，如图3，过点作
轴于点
，过点作
的延长线于点．
，
．
又
，
，
又，
，
，
，
又
，
，
，
．
．
设直线的解析式为，
，
解得
直线的解析式为．
综上所述，直线的解析式为或．
（3）由题意可知，当
时，可证得
．
分为以下情况讨论：
I当
时，如图4，则
为钝角．
当
时，有
．
又
，
．
II当
时，如图5，则
为钝角．
当
时，
．
III当
时，
①若
，如图6，有
．
②若，如图7，有
．
．
③若，如图8，有．
．
，
（舍去）．
综上所述，当为或或或时，为等腰三角形．
