Question

【题目】如图，将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中，有，， ，且．现将绕点逆时针旋转，旋转角为．在旋转过程中，直线分别与直线，交于点，．

（1）当旋转角时，求点的坐标；

（2）在旋转过程中，当时，求直线的解析式；

（3）在旋转过程中，能否为等腰是三角形？若能，请求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）当为或或或时，为等腰三角形．

【解析】

（1）过点B作BH⊥x轴于点H，在Rt△AOB中，∠AOB=60°，OA=8，所以，再利用勾股定理求出OH、BH，即可解答；
（2）分两种情况：Ⅰ当点B在第一象限时（如图2），过点B作BM⊥OC于点M；Ⅱ当点B在第二象限时（如图3），过点B作BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥BE于H；分别求出点A、B的坐标，利用待定系数法求解析式，即可解答；
（3）分三种情况：Ⅰ当0°＜β＜45°时（如图4）；Ⅱ当45°＜β＜75°时（如图5）；Ⅲ当75°＜β＜180°时，分三种情况解答：①FA=FG，②AF=AG，③GA=GF；根据等腰三角形的性质，角之间的和与差，即可解答．

解；（1）如图1，过点作轴于点．

在中，，，

∴∠OAB=30°

．

当，即时，则．

．

．

．

（2）①当点在第一象限时，如图2，过点作于点．

，．

，

．

点在轴上，

．

设直线的解析式为

由题意，得，

解得．

直线的解析式为．

②当点在第二象限时，如图3，过点作轴于点，过点作的延长线于点．

，．

又，

，

又，

，

，，

又，

，

，．

．

设直线的解析式为，

，

解得

直线的解析式为．

综上所述，直线的解析式为或．

（3）由题意可知，当时，可证得．

分为以下情况讨论：

I当时，如图4，则为钝角．

当时，有．

又，．

II当时，如图5，则为钝角．

当时，．

III当时，

①若，如图6，有

．

②若，如图7，有

．

．

③若，如图8，有．

．

，（舍去）．

综上所述，当为或或或时，为等腰三角形．