Question

如图，在直角坐标平面内，函数y=

m

x

（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由函数y=

m

x

（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），可求m=4，由已知条件可得B点的坐标为（a，

4

a

），又由△ABD的面积为4，即

1

2

a（4-

4

a

）=4，得a=3，所以点B的坐标为（3，

4

3

）；
（2）依题意可证，

BE

DE

=

a-1

1

=a-1，

AE

CE

=

4- 4 a

4 a

=a-1，

BE

DE

=

AE

CE

，所以DC∥AB；
（3）由于DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，点B的坐标是
（2，2），设直线AB的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，可求点B的坐标是（4，1），设直线AB的函数解析式
y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-x+5．

解答：（1）解：∵函数y=

m

x

（x＞0，m是常数）图象经过A（1，4），
∴m=4．
∴y=

4

x

，
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为（a，

4

a

），D点的坐标为（0，

4

a

），E点的坐标为（1，

4

a

），
∵a＞1，
∴DB=a，AE=4-

4

a

．
由△ABD的面积为4，即

1

2

a（4-

4

a

）=4，
得a=3，
∴点B的坐标为（3，

4

3

）；

（2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE=1，
∵a＞1，
易得EC=

4

a

，BE=a-1，
∴

BE

DE

=

a-1

1

=a-1，

AE

CE

=

4- 4 a

4 a

=a-1．
∴

BE

DE

=

AE

CE

且∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE=∠CDE，
∴DC∥AB；

（3）解：∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，

BE

DE

=

AE

CE

=a-1，
∴a-1=1，得a=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得

4=k+b 2=2k+b

，
解得

k=-2 b=6

．
故直线AB的函数解析式是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得

4=k+b 1=4k+b

，
解得

k=-1 b=5

，
故直线AB的函数解析式是y=-x+5．
综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5．

点评：本题要注意利用一次函数和反比例函数的特点，列出方程，求出未知数的值，用待定系数法从而求得其解析式．
主要是注意分类讨论和待定系数法的运用，需学生熟练掌握．