Question

【题目】如图，，垂足为，垂足为B，E为的中点，．

（1）求证：．

（2）有同学认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；

（3）若，求的度数．

Answer 1

【答案】（1）详情见解析；（2）对，理由见解析；（3）50°

【解析】

（1）首先根据题意证明∠ADB=∠BEC，然后利用“AAS”证明△ADB与△BEC全等，最后利用全等三角形性质进一步证明即可；

（2）根据E是AB的中点可知AE=BE，从而得出AE=AD，然后根据AB=BC得出∠BAC=∠BCA，据此结合题意进一步证明△ADC△AEC，由此得出DC=CE，从而得出C点在线段DE的垂直平分线上，最后进一步证明出A点在线段DE的垂直平分线上，由此即可得出结论；

（3）首先利用全等三角形性质得出DB=CE，结合题意进一步得出∠CBD=∠BCD，据此求出∠CBD的度数，然后进一步求解即可.

（1）∵BD⊥EC，DA⊥AB，

∴∠BEC+∠DBA=90°，∠DBA+∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠BEC，

在△ADB与△BEC中，

∵∠ADB=∠BEC，∠DAB=∠EBC，AB=BC，

∴△ADB△BEC（AAS），

∴BE=AD；

（2）对的，是线段的垂直平分线，理由如下：

∵E是AB中点，

∴AE=BE,

∵BE=AD，

∴AE=AD，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵DA⊥AB，CB⊥AB，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠BAC=∠DAC，

在△ADC与△AEC中，

∵AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，

∴△ADC△AEC（SAS），

∴DC=CE，

∴C点在线段DE的垂直平分线上，

∵AD=AE，

∴A点在线段DE的垂直平分线上，

∴AC垂直平分DE；

（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，

∴CD=CE，

∵△ADB△BEC（AAS），

∴DB=CE，

∴CD=BD，

∴∠CBD=∠BCD，

∵∠ABD=25°，

∴∠CBD=90°25°=65°，

∴∠BDC=180°2∠CBD=50°.