Question

观察下列各式的规律：
1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²，
2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²，
3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²，
…
（1）写出第2011行的式子；
（2）写出第n行的式子，并证明你的结论的正确性．

Answer 1

分析：（1）首先可以看式子的左边，三个平方数的特点：是第几个算式，第一个加数就是几的平方，第三个加数是几+1的平方，第二个加数是两边加数的底数乘积的平方；再看右边结果是中间加数底数+1的平方；由此规律写出答案即可．
（2）利用（1）的规律写出等式，把左边因式分解，看是否等于右边的式子即可．

解答：解：（1）第2 011行的式子为：
2011²+（2011×2012）²+2012²
=（2011×2012+1）²；

（2）第n行的式子为：
n²+[n×（n+1）]²+（n+1）²
=[n×（n+1）+1]²；
∵n²+[n×（n+1）]²+（n+1）²
=n²+[n×（n+1）]²+n²+2n+1
=[n×（n+1）]²+2n（n+1）+1
=[n×（n+1）+1]²．
∴结论正确．

点评：此题考查式的规律，注意每一个式子之间数据之间的联系，每个式子之间的整体联系，找出规律，利用规律解决问题．