Question

如图，已知：AB＞AC，
（1）若BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF，求证：AD是△ABC的中线；
（2）若AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD，CF⊥AD，求证：BD＞CD．

Answer 1

证明：（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△EDB与△DCF中，
，
∴△EDB≌△DCF（AAS），
∴BD=CD，
即AD是△ABC的中线．

（2）∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴Rt△FAC∽Rt△EAB，
∴，
∵AB＞AC，
∴BE＞CF，
∵∠BDE=∠CDF，
∴Rt△FDC∽Rt△EDB，
∴，
∴BD＞CD．
分析：（1）由BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，利用AAS，即可判定△EDB≌△DCF，则可证得BD=CD，即可得AD是△ABC的中线；
（2）由AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD，CF⊥AD，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，易证得Rt△FAC∽Rt△EAB与Rt△FDC∽Rt△EDB，根据相似三角形的对应边成比例，即可得与，又由AB＞AC，即可得BD＞CD．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握有两组角对应相等的两个三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．