题目内容

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图(1)，易证EG＝CG且EG⊥CG．

(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图(2)，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．

(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图(3)，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

答案：
解析：

　　解答：解：(1)EG＝CG，EG⊥CG．(2分)

　　(2)EG＝CG，EG⊥CG．(2分)

　　证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．

　　∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，

　　∴四边形BEMC是矩形．

　　∴BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵BE＝EF，

　　∴EF＝CM．

　　∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝FD＝FG．

　　∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．

　　∵EF＝CM，∴FM＝DM，∴∠F＝45°．

　　又FG＝DG，∠CMG＝∠EMC＝45°，

　　∴∠F＝∠GMC．∴△GFE≌△GMC．∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC．(2分)

　　∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD，

　　∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°，

　　∴EG⊥CG．(2分)

　　分析：从图(1)中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图(2)、(3)中借鉴此解法证明．

　　点评：此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．


练习册系列答案
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（2）把小正方形AEFG绕A点按逆时针方向旋转45°得图2，求图中△BDF的面积S△BDF；
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（2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据
SAS
SAS
，易证△AFG≌
△AEF
△AEF
，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
如图，正方形CEFG的对角线CF在正方形ABCD的边BC的延长线上（CE＞BC），点M在CF上，且MF=AB，线段AF与DM交于点N．
（1）求证：DN=MN
（2）探究线段NG、MD的数量和位置关系，并加以证明．

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