Question

42、如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：此题的结论是OM=ON；OM⊥ON．可以利用已知条件证明．DCM≌△CBN得CM=BN，再推出△OCM≌△OBN得OM=ON．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，
又∵CN⊥DM交AB于N，
∴∠NCM+∠CMD=90°，
而∠CMD+∠CDM=90°，
∴∠NCM=∠CDM，
∴△DCM≌△CBN，
∴CM=BN，
再根据四边形ABCD是正方形可以得到
OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，
∴△OCM≌△OBN．
∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，
∴∠BON+∠MOB=90°．
∴∠MON=90°．
∴OM与ON之间的关系是OM=ON；OM⊥ON．

点评：此题把正方形和全等三角形的知识结合起来，主要利用正方形的性质与全等三角形的判定、性质来解题．