Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．

（1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

Answer 1

证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，

∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，

∴∠DAC=∠ABC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，

∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，

∴∠AEH=∠AEF，

在△AEH和△AEF中，

，

∴△AEH≌△AEF，

∴EH=EF，

∴CE+EH=CF，

在△ABH和△ACF中，

，

∴△ABH≌△ACF，

∴BH=CF=CE+EH．