Question

【题目】在四边形ABCD中，BD平分∠ABC.

（1）如图1，若∠A＝∠BDC，求证：BD2＝AB·BC；

（2）如图2，∠A>90°，∠BAD+∠BDC=180°，

① 若∠ABC=60°，AB=，BC=4，求；

② 若BC＝2n，CD＝n，BD=8，则AB的长为________.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】(1)通过证明△ABD∽△DBC即可得到结论．

(2)延长BA到E，使DE=DA，作DH⊥AE于点H，得到∠EAD＝∠E．可证明△EBD∽△DBC，由相似三角形的性质即可得到BD2＝EB·BC．

设DH=x，则BH=，AH=HE=，BE=BH+EH=，故，解方程得到x的值，即可得到BD的值．由相似三角形的

∵△EBD∽△DBC，

∴ ．

（3）延长BA到E，使DE=DA，作DH⊥AE于点H，

∴∠EAD＝∠E．

∵∠EAD+∠BAD＝180°，∠BAD+∠BDC=180°，

∴∠BDC＝∠EAD=∠E．

∵∠ABD＝∠DBC，∴△EBD∽△DBC，∴，∴BD2＝EB·BC，，∴BE=，ED=AD=4．

设AH=y，HD=h，则，解得：，∴AB=BE-2y==．

(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，

∵∠A＝∠BDC，∴△ABD∽△DBC，

∴，∴BD2＝AB·BC，

(2)延长BA到E，使DE=DA，作DH⊥AE于点H，

∴∠EAD＝∠E．

∵∠EAD+∠BAD＝180°，∠BAD+∠BDC=180°，

∴∠BDC＝∠EAD=∠E．

∵∠ABD＝∠DBC，∴△EBD∽△DBC，，∴BD2＝EB·BC．

设DH=x，则BH=，AH=HE=，

∴BE=BH+EH=，∴，

解得：．

∵AH=HE=>0，∴，∴，

∴BD=．

∵△EBD∽△DBC，

∴ ．

（3）延长BA到E，使DE=DA，作DH⊥AE于点H，

∴∠EAD＝∠E．

∵∠EAD+∠BAD＝180°，∠BAD+∠BDC=180°，

∴∠BDC＝∠EAD=∠E．

∵∠ABD＝∠DBC，∴△EBD∽△DBC，∴，∴BD2＝EB·BC，，∴BE=，ED=AD=4．

设AH=y，HD=h，则，解得：，∴AB=BE-2y==．