题目内容
【题目】已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+
，PA=
，则：
①线段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足
，求
的值．（提示：请利用备用图进行探求）
【答案】（1）①
，2；②
；（2）证明见试题解析；（3）
或
．
【解析】
试题
（1）①由已知条件求出AB的长，再减去PA就可得PB的长；如图1，连接BQ，先证△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=
，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可计算出PQ=
，从而根据△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；
②由①中的证明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；
（2）如图2，连接PB，先证△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，从而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想结论仍然成立；
（3）如图3，分点P在点A、B之间和在点A、B的同侧两种情况讨论即可；
试题解析：
（1）如图①：
①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+
，∠ACB=90°，
∴AB=
，
∵PA=，
∴PB=AB-PA=.
∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=．
∴PC=
PQ=2．
故答案为：，2；
②如图1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：
由①中证明可知：△APC≌△BQC，
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，
又∵∠CBA=45°，
∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°，
∴BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（2）如图②：连接BQ，
∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°．
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°，
∴∠PBQ=90°，
∴在Rt△PBQ中，BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC可得：AD=BD=CD=
AB；设AB=
，则AD=BD=CD=
，
①当点P位于点A、D之间的点P1处时．
∵
，
∴P1A=
AB=DC=
，
∴P1D=AD=，
在Rt△CP1D中，由勾股定理得：CP1=
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=
，
∴
；
②当点P位于点A和点B的同侧的点P2处时．
∵
，
∴P2A=AB=AD=．
∴P2D=P2A+AD=，
在Rt△CP2D中，由勾股定理得：P2C=
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=
，
∴
；
综上所述，
的比值为或．
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