Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁．
（1）证明：△A₁AD₁≌△CC₁B；
（2）若∠ACB=30°，试问当点C₁在线段AC上的什么位置时，四边形ABC₁D₁是菱形．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，从而证出结论；
（2）根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C₁在AC中点时四边形ABC₁D₁是菱形．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁．
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁
∴AA₁=CC₁，∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB．
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS）．（6分）

（2）解：∵∠CAB=60°，
又∵四边形ABC₁D₁是菱形，
∴∠BC₁A=60°，
∴△ABC₁是等边三角形，
∴AC₁=BC₁，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠C₁BC=∠ACB=30°，
∴BC₁=CC₁=AC₁，即C₁为AC的中点，
∴当C₁在AC中点时四边形ABC₁D₁是菱形．（9分）
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形、菱形的性质以及平移的性质，是一道综合题，难度中等．