Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，点P在AB上，AP=6．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段PA向点A作匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段PB向点B作匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，点F运动到点B时，点E随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．

（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是　3　；当t=4时，正方形EFGH的边长是　8　；

（2）当0＜t≤3时，求S与t的函数关系式．

Answer 1

【考点】相似形综合题；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质．

【分析】（1）当t=1时，根据PE=2t，PF=t即可求出EF的值，当t=4时，点E运动到点A后返回，PE=2AP﹣2t，PF=t，由此即可求出EF的值；

（2）当点H在线段AC上时，可求出t=，可分两种情况讨论：当0＜t≤时，S=S_{正方形EFGH}=EF²，只需用t的代数式表示出EF即可解决问题；当＜t≤3时，S=S_{五边形EFGMN}=S_{正方形EFGH}﹣S_△MHN=EF²﹣HN•HM，只需用t的代数式分别表示出EF、HN、HM即可解决问题．

【解答】解：（1）当t=1时，PE=2×1=2，PF=1×1=1，EF=EP+PF=2+1=3．

当t=4时，PE=12﹣2×4=4，PF=1×4=4，EF=EP+PF=4+4=8．

故答案分别为：3、8；

（2）当点H在线段AC上时，

则有AE=HE=EF，即6﹣2t=3t，

解得：t=．

①当0＜t≤时，

EF=EP+PF=2t+t=3t，

则S=9t²；

②当＜t≤3时，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=45°．

∵四边形EFGH是正方形，

∴HE=EF=3t，∠H=∠HEF=90°，

∴∠ANE=90°﹣45°=45°，

∴∠ANE=∠A=45°，

∴NE=AE=AP﹣EP=6﹣2t，

∴HN=HE﹣NE=3t﹣（6﹣2t）=5t﹣6．

∵∠HNM=∠ANE=45°，

∴∠HMN=90°﹣45°=45°，

∴∠HMN=∠HNM=45°，

∴HM=HN=5t﹣6，

∴S=S_{正方形EFGH}﹣S_△NHM

=（3t）²﹣（5t﹣6）²

=﹣t²+30t﹣18．

综上所述：S与t的函数关系式为

S=．