Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x²﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

Answer 1

解：（1）解方程x²﹣2x﹣3=0，得 x₁=3，x₂=﹣1。
∵m＜n，∴m=﹣1，n=3。∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）。
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax²+bx。
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为。
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b。
∴，解得：。
∴直线AB的解析式为。
∴C点坐标为（0，）。
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x。
∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。
设P（x，﹣x）。
（i）当OC=OP时，，解得（舍去）。
∴P₁（）。
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P₂（）。
（iii）当OC=PC时，由，解得（舍去）。
∴P₃（）。
综上所述，P点坐标为P₁（）或P₂（）或P₃（）。
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．

设Q（x，﹣x），D（x，）．
S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ=DQ•OG+DQ•GH
=DQ（OG+GH）
=
=。
∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（）。

解析