Question

如图，△ABC中，AD为中线，E为边BC上一点，过E作EF∥AB交AC于F，交AD于M，EG∥AC交AB于G．
（1）如图1，若E与D重合，写出图中所有与FG相等的线段，并选取一条给出证明．
（2）如图纸，若E与D不重合，在（1）中与FG相等的线段中找出一条仍然与FG相等的线段，并给出证明．
（3）如图3，若E在BC的延长线上，其它条件不变，作出图形（不写作法），FG=________．

Answer 1

解：（1）BD=DC=FG，
证明：∵EF∥AB，BD=DC，
∴AF=CF，
同理BG=AG，
∴FG=BC=BD=DC，
即BD=FG．

（2）BM=FG，
理由是：延长AD至A′，使DA′=AD，连接CA′，
则△ABD≌△A′CD，
∴A′C=AB，A′C∥AB，
∵FM∥AB，GE∥AC，
∴四边形GEFA为平行四边形，
∴FM∥A′C，
∴===，
∴FM=BG，
∵FM∥BG，
∴BMFG是平行四边形，
∴BM=FG．

（3）BM=FG，
理由是：延长AD至A′，使DA′=AD，连接CA′，
△ABD≌△A′CD，
∴A′C=AB，A′C∥AB，
∵FM∥AB，GE∥AC，
∴四边形GEFA为平行四边形，
∴FM∥A′C，GE=AF，
∴===，
∴FM=BG，
∵FM∥BG，
∴BMFG是平行四边形，
∴BM=FG．
故答案为：BM．
分析：（1）BD=DC=FG，根据平行线分线段成比例定理推出AF=CF，BG=AG，根据三角形的中位线求出即可；
（2）延长AD至A′，使DA′=AD，连接CA′，推出平行四边形GEFA，得出FM∥A′C，得出、比例式，求出BG=FM，BG∥FM，得出平行四边形BGFM即可；
（3）延长AD至A′，使DA′=AD，连接CA′，推出平行四边形GEFA，得出FM∥A′C，得出、比例式，求出BG=FM，BG∥FM，得出平行四边形BGFM即可．
点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等知识点，此题难度较大，对学生有较高要求，但出现了类比推理的思想．