题目内容
由平面上一点A作⊙O的两条切线，切点分别为B，C．D为劣弧BC上任意一点，过D作AD的垂线交∠BOD和∠DOC的角平分线于点E和点F．求证：DE=DF．考点：切线的性质
专题：证明题
分析：连接FC，DC，过C作DF的平行线，与OF交于G，过F作FH∥OC，可证得△ADC∽△CGO，结合条件进一步可证得△ACO∽△AFD和△AED∽△AOB，可证得∠DAF=∠EAD，结合AD⊥EF，可证得结论．
解答：
证明：连接FC，DC，过C作DF的平行线，与OF交于G，过F作FH∥OC，
∵FH∥OC，∠ACO=90°，且AD⊥DF，
∴∠DAC=∠DFH，
∵∠ACD=∠FOC，
∴△ADC∽△CGO，
∴
=
，
∴
=
，
∵OF平分∠DOC，OD=OC，CG∥DF，
∴DF=DC=CG，
∴
=
，
又∵∠ADF=∠ACO=90°，
∴△ACO∽△AFD，
∴∠OAC=∠DAF，
同理：△AED∽△AOB，
∴∠BAO=∠EAD，
∵∠BAO=∠CAO，
∴∠DAF=∠EAD，
∵AD⊥EF，
∴ED=FD．
证明：连接FC，DC，过C作DF的平行线，与OF交于G，过F作FH∥OC，∵FH∥OC，∠ACO=90°，且AD⊥DF，
∴∠DAC=∠DFH，
∵∠ACD=∠FOC，
∴△ADC∽△CGO，
∴
| AC |
| AD |
| OC |
| CG |
∴
| CG |
| AD |
| OC |
| AC |
∵OF平分∠DOC，OD=OC，CG∥DF，
∴DF=DC=CG，
∴
| DF |
| AD |
| OC |
| OA |
又∵∠ADF=∠ACO=90°，
∴△ACO∽△AFD，
∴∠OAC=∠DAF，
同理：△AED∽△AOB，
∴∠BAO=∠EAD，
∵∠BAO=∠CAO，
∴∠DAF=∠EAD，
∵AD⊥EF，
∴ED=FD．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及切线的性质，通过作平行构造三角形相似是解题的关键，注意利用相似来寻找角相等是解题的常用思路．
练习册系列答案
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如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2：
有理数a在数轴上位置如图，则下列结论中正确的是（ ）| A、a+3是正数 |
| B、a+3是负数 |
| C、a-3是正数 |
| D、a-3为0 |