Question

如图，圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，OM交AB于H，ON交CD于K，OM＞OA．
（1）证明：△AOH≌△COK；
（2）若AB=2，求正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积．

Answer 1

考点：正多边形和圆,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用正六边形的性质得出△OBC，△OAB都是等边三角形，进而得出AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，即可得出全等三角形；
（2）利用全等三角形的性质以及正六边形性质得出正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：S_△AOB+S_△OBC=2S_OBC进而得出答案．

解答：（1）证明：∵圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，
∴△OBC，△OAB都是等边三角形，
∴AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，
在△AOH和△COK中

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠4

，
∴△AOH≌△COK（ASA）；

（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，
∵△OBC是等边三角形，
∴BG=CG=1，CO=2，
∴OG=

3

，
∵△AOH≌△COK，
∴S_△AOH=S_△COK，
∴正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：
S_△AOB+S_△OBC=2S_OBC=2×

1

2

×2×

3

=2

3

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正六边形的性质，根据正六边形的性质得出对应角相等是解题关键．