Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，BC=，DC=，
且，点M是AB边的中点．
（1）求证：CM⊥DM；
（2）求点M到CD边的距离．（用含，的式子表示）

Answer 1

证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图3）

∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM．
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM．
在△ADM与△BEM中，
       ∠ADM=∠BEM，
∠AMD=∠BME，
AM=BM，
∴△ADM≌△BEM． 
∴AD=BE=，DM=EM．
∴CE=CB+BE=．
∵CD=，
∴CE=CD．
∴CM⊥DM．
解：（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．（如图4）

∵CE=CD，DM=EM，
∴CM平分∠ECD．              
∵∠ABC= 90°，即MB⊥BC，             
∴MN=MB． 
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°．
∵∠DFB=90°，
∴四边形ABFD为矩形．
∴BF= AD=，AB= DF． 
∴FC= BC－BF =．              
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴==．
∴ DF=．
∴MN=MB=AB=DF=．
即点M到CD边的距离为．

（1）等腰三角形三线合一，证得CE=CD，即可得CM⊥DM；
（2）构建直角三角形利用勾股定理求解。