Question

【题目】如图，内接于，，为弧上一点，连

（1）如图1，若为延长线上一点，连，求证：平分．

（2）如图2，若于，过点作圆的切线交直线于，若，求．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）先根据圆内接四边形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后根据角平分线的定义即可得证；

（2）法1：先根据圆的切线的性质可得，再根据垂直平分线的判定与性质可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理可得，最后根据正弦三角函数、勾股定理可求出AF、BF的长，由此即可得；法2：先同法1得出，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理可得，从而可得，设，利用正弦三角函数、勾股定理可得，然后利用垂径定理可得，设，最后在和中，分别利用勾股定理列出等式可求出x的值，从而可得BF的值，由此即可得．

（1）∵四边形内接于

∴

又∵

∴

∵

∴

由圆周角定理得：

∴

∴平分；

（2）法1：连并延长交于，连，

切圆于

又，

AH是线段BC的垂直平分线

由圆周角定理得：

在中，

设，则

，，

则；

法2：连并延长交于，连，

切圆于

又，

AH是线段BC的垂直平分线

，

（等腰三角形的三线合一）

由圆周角定理得：

设，则

，，

由垂径定理得：

设，则

由勾股定理得：

即

解得

，

则．