Question

如图，BC是半圆O的直径，P是BC延长线上一点，PA切⊙O于点A，∠B=30°．
（1）试问AB与AP是否相等？请说明理由．
（2）若PA=，求半圆O的直径．

Answer 1

解：（1）AB=AP．
理由：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=2∠B=2×30°=60°，
∴∠P=90°-∠AOP=30°，
∴∠B=∠P，
∴AB=AP；

（2）在Rt△PAO中，∠P=30°，PA=，
∴OA=PA•tan∠P=×=1，
∴半圆O的直径为：2OA=2．
分析：（1）连接OA，由PA切⊙O于点A，即可得∠PAO=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOP的度数，即可证得∠B=∠P=30°，则可证得AB=AP；
（2）由∠P=30°，PA=，利用正切函数，即可求得半圆O的半径OA的长，继而求得半圆O的直径．
点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定以及正切函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．