Question

如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．

（1）求∠OAC的度数；

（2）p点在x轴上运动，当p点在x轴的负半轴上，且PO=4时，连结CP，请试猜想PC与⊙D的位置关系，并说明理由.

（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，

△AOC是等边三角形，

∴∠OAC=60°．       …………………………………………3分

（2）∵CP与⊙A相切，…………………………………………4分

             证明略   …………………………………………7分

（3）①过点C作CP₁⊥OB，垂足为P₁，延长CP₁交⊙A于Q₁；

∵OA是半径，

∴弧OC=弧OQ₁

∴OC=OQ₁，

∴△OCQ₁是等腰三角形；

又∵△AOC是等边三角形，

∴P₁O= OA=2 ………………………………………………9分

②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q₂，CQ₂与x轴交于P₂；

∵A是圆心，

∴DQ₂是OC的垂直平分线，

∴CQ₂=OQ₂，

∴△OCQ₂是等腰三角形；

过点Q₂作Q₂E⊥x轴于E，

在Rt△AQ₂E中，

∵∠Q₂AE=∠OAD=∠OAC=30°，

∴Q₂E= AQ₂=2，AE=2，

∴点Q₂的坐标（4+2，-2）          ……………………………………11分

在Rt△COP₁中，

∵P₁O=2，∠AOC=60°，

∴CP₁=2，

∴C点坐标（2，2）；

设直线CQ₂的关系式为y=kx+b，则

解得

∴y=-x+2+2

当y=0时，x=2+2

∴P₂O=2+2 ……………………………………14分