Question

【题目】如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分BC边，交BC于点E．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）当∠A= 时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形；

（3）以点O、B、E、D为顶点的四边形 （可能、不可能）为菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）45°；（3）不可能.

【解析】

试题分析：（1）要证BC是⊙O的切线，就要证OB⊥BC，只要证∠OBE=90°即可，首先作辅助线，连接OD、OE，由已知得OE为△ABC的中位线，OE∥AC，从而证得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切线，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得证；

（2）由题意使四边形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC为等腰三角形，进而得出以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形；

（3）直接利用三角形的中位线的性质结合菱形的判定方法进而得出答案．

试题解析：（1）连接OD、OE，

∵O为AB的中点，E为BC的中点，

∴OE为△ABC的中位线，

∴OE∥AC（三角形中位线性质），

∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行线性质），

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∴∠DOE=∠BOE（等量代换），

在△ODE和△OBE中，

OD=OB，∠DOE=∠BOE，OE=OE，

∴△ODE≌△OBE（SSS）

∴∠ODE=∠OBE，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线．

（2）当∠A=∠C=45°时，四边形OBDE是正方形，证明如下：

如图2，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴BD⊥AC（直径所对的圆周角为直角），

∵∠A=∠B，

∴AB=BC，

∴D为AC的中点（等腰三角形的性质），

∵E为BC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴OD⊥AB，

∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，

∵OD=OB，

∴四边形OBED为正方形．

故答案为：45°；

（3）解：∵CE=BE，AD≠CD，

∴DE于OB不平行，

∴以点O、B、E、D为顶点的四边形不可能是菱形，

故答案为：不可能．