Question

【题目】如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正确的有（ ）

A.5个B.4个C.3个D.2个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证，根据，可得，根据三角形的内角和可得，即DE平分∠HDC，所以①正确；

利用，得到四边形是矩形，有，，由①有DE平分∠HDC，得，可得,，可证，利用 易证，则有，，所以②正确；

过作于，并延长交于点，得，是的中点，是的中点，是的中点，所以③正确；

根据是等腰直角三角形，，∵是的中点，是的中点，得到，，，易证，所以④正确；

利用AAS证明，则有，，易的，，则不是直角三角形，并 ，即有：，所以⑤不正确；

解：∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，

∴

又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，

∴，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，

∴， ，，

∴

∴，

∴

∴，∴,

又∵

∴

∴由三角形的内角和可得，

即：DE平分∠HDC，所以①正确；

∵

∴四边形是矩形，

∴

∴，

由①有DE平分∠HDC，∴

∵，

∴,

∴

∴

在中，

∴

∴

∴

∴，所以②正确；

过作于，并延长交于点，

∵

∴

又∵是等腰直角三角形，

∴是的中点，

∵四边形是矩形，

∴是的中点，

∴是的中点，所以③正确；

∵是等腰直角三角形，

∴

又∵是的中点，是的中点，

∴，，，

∴

即有：，所以④正确；

在和中，

，

∴，

，，

∵

∴，

∴

∴不是直角三角形，并

即有：，所以⑤不正确；

综上所述，正确的有①②③④，

故选：B．