Question

【题目】如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．

（1）求证：CF＝BF；

（2）若cos∠ABE，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

(1)延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到，则可证明，然后根据圆周角定理得∠CBE＝∠GCB，从而得到CF＝BF ；

(2)连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE ，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH，OH，接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论．

(1)延长CD交⊙O于G，如图，

∵CD⊥AB，∴，

，∴，

∴∠CBE＝∠GCB，

∴CF＝BF；

(2)连接OC交BE于H，如图，

∵，∴OC⊥BE，

在Rt△OBH中，cos∠OBH，

∴BH，

∴OH

，

∴，而∠HOB＝∠COM，

∴△OHB∽△OCM，

∴∠OCM＝∠OHB＝90°，

∴OC⊥CM，

∴直线CM是⊙O的切线．