Question

【题目】问题背景：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1：将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，问题解决：

（1）将图1中的△ACD以点为A旋转中心，按逆时针方向能转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是　 　．

（2）缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG、C'G，得到四边形ACGC'，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：（3）创新小组在缜密小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC'相交于点H，如图4所示，连接CC'，试求tan∠C'CH的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）详见解析；（3）

【解析】

(1)先判断出∠ACD＝∠BAC，进而判断出∠BAC＝∠AC'D，进而判断出∠CAC'＝∠AC'D，即可得结论；

(2)先判断出∠CAC'＝90°，再判断出AG⊥CC'，CF＝C'F，进而判断出四边形ACGC'是菱形，即可得出结论；

(3)先判断出∠ACB＝30°，进而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出结论．

(1)在如图1中，

∵AC是矩形ABCD的对角线，

∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC，

在图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，

∴∠BAC＝∠AC'D，

∵∠CAC'＝∠BAC，

∴∠CAC'＝∠AC'D，

∴AC∥C'E，

∵AC'∥CE，

∴四边形ACEC'是平行四边形，

∵AC＝AC'，

∴ACEC'是菱形，

故答案为：菱形；

(2)在图1中，∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°

在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，

∴∠ACB＝∠DAC'，

∴∠BAC+∠DAC'＝90°，

∵点D，A，B在同一条直线上，

∴∠CAC'＝90°，

由旋转知，AC＝AC'，

∵点F是CC'的中点，

∴AG⊥CC'，CF＝C'F，

∵AF＝FG，

∴四边形ACGC'是平行四边形，

∵AG⊥CC'，

∴ACGC'是菱形，

∵∠CAC'＝90°，

∴菱形ACGC'是正方形；

(3)在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝8，

∴AC'＝AC＝8，AD＝BC＝4，sin∠ACB＝，

∴∠ACB＝30°，

由(2)结合平移知，∠CHC'＝90°，

在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，

∴BH＝BCsin30°＝2，

∴C'H＝BC'﹣BH＝8﹣2，

在Rt△ABH中，AH＝AB＝2，

∴CH＝AC﹣AH＝8﹣2＝6，

在Rt△CHC'中，tan∠C′CH＝．