Question

如图，在直角坐标系xOy中，直线y=2x-2，分别与x轴，y轴，交于A，B两点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于第一象限点P，PQ⊥x轴，垂足为Q，点M（m，n）在反比例函数y=

k

x

（x＞0）上，且MC⊥x轴．垂足为C，直线MC交直线AB于N．
（1）若三角形PAO的面积等于4倍△ABO的面积．求k的值；
（2）若以P，M，N Q为顶点的四边形为平行四边形，CQ=1，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据三角形的面积的关系求出点P的纵坐标，然后代入直线解析式求出点P的横坐标，从而得到点P的坐标，最后代入反比例函数解析式计算即可求出k的值；
（2）设点P的横坐标为a，根据反比例函数解析式表示出PQ，再表示出点M、N的横坐标，然后根据直线和反比例函数解析式表示出MN，再根据平行四边形对边相等列出方程，然后求出a和k即可．

解答：解：（1）令y=0，则2x-2=0，解得x=1，
令x=0，则y=-2，
所以，A（1，0），B（0，-2），
∵△PAO的面积等于4倍△ABO的面积，
∴点P的纵坐标是8，
代入直线AB的解析式得，2x-2=8，
解得x=5，
∴点P的坐标为（5，8），
把点P坐标代入反比例函数解析式得，

k

5

=8，
解得k=40；

（2）设点P的横坐标为a，
∵直线AB与反比例函数解析式相交于点P，
∴

k

a

=2a-2，
∴k=2a（a-1）①，
∵CQ=1，
∴点M、N的横坐标为a-1，
∴MN=

k

a-1

-[2（a-1）-2]=

k

a-1

-2a+4，
∵以P，M，N Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴MN=PQ，
∴

k

a-1

-2a+4=

k

a

②，
①代入②得，2a-2a+4=2（a-1），
解得a=3，
所以，k=2×3×（3-1）=12．

点评：本题是反比例函数综合题，主要考查了三角形的面积，平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，（1）判断出点P的纵坐标的是解题的关键，（2）难点在于用点P的横坐标表示出PQ的长和MN的长．