题目内容
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，S梯形ABCD=S，S△AOD=S1，S△BOC=S2，S△AOB=S3，求证：| S1 |
| S2 |
| S |
考点：面积及等积变换
专题：
分析：由AD∥BC，可得△BOC∽△AOD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得
=
①，由△AOB与△AOD等高，可得S△AOB：S△AOD=S3：S1=OB：OD②，联立①②可得：S3=S1•
=
③，又由△ABC与△BCD同底等高，易得S△COD=S△AOB=S3，继而求得S=S1+2
+S2=（
+
）2，则可得
=
+
⑤，然后由韦达定理证得结论．
| OB |
| OD |
|
|
| S1S2 |
| S1S2 |
| S1 |
| S2 |
| S |
| S1 |
| S2 |
解答：证明：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴
=（
）2，
∴
=
①，
∵△AOB与△AOD等高，
∴S△AOB：S△AOD=S3：S1=OB：OD②，
由①②得：S3：S1=
，
∴S3=S1•
=
③，
∵△ABC与△BCD同底等高，
∴S△ABC=S△BCD，
∵S△COD=S△BCD-S△BOC，S△AOB=S△ABC-S△BOC，
∴S△COD=S△AOB=S3，
∵S=S△AOD+S△BOC+S△AOB+S△COD，
∴S=S1+S2+S3+S3=S1+2S3+S2④，
由③④得：S=S1+2
+S2=（
+
）2，
∴
=
+
⑤，
∴由④⑤可得：
、
是方程x2-
•x+S3=0的两根．
∴△AOD∽△BOC，
∴
| S1 |
| S2 |
| OD |
| OB |
∴
| OB |
| OD |
|
∵△AOB与△AOD等高，
∴S△AOB：S△AOD=S3：S1=OB：OD②，
由①②得：S3：S1=
|
∴S3=S1•
|
| S1S2 |
∵△ABC与△BCD同底等高，
∴S△ABC=S△BCD，
∵S△COD=S△BCD-S△BOC，S△AOB=S△ABC-S△BOC，
∴S△COD=S△AOB=S3，
∵S=S△AOD+S△BOC+S△AOB+S△COD，
∴S=S1+S2+S3+S3=S1+2S3+S2④，
由③④得：S=S1+2
| S1S2 |
| S1 |
| S2 |
∴
| S |
| S1 |
| S2 |
∴由④⑤可得：
| S1 |
| S2 |
| S |
点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度适中，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比以及韦达定理的应用．
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