Question

8．如图，在△ABC中，CD、AE是△ABC的两条高．
（1）求证：BD•AB=BE•BC；
（2）连接DE，求证：$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）证明△ABE∽△CBD，利用相似三角形的性质可证得结论；
（2）利用（1）的结论可证明△BDE∽△BCA，可证得结论．

解答 证明：
（1）∵CD、AE是△ABC的两条高，
∴∠AEB=∠CDB=90°，且∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴BD•AB=BE•BC；
（2）由（1）可知$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，且∠EBD=∠ABC，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法（即两边对应成比例，且夹角相等或有两组角对应相等的三角形相似）和相似三角形的性质是解题的关键．