题目内容
16．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，2）．（1）直接写出C的值和抛物线的顶点坐标；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）点P为线段AB上一动点（不与点A重合），过点P作直线PN⊥x轴，交直线AC于M，交抛物线于N，若点P的横坐标为m，△APM的面积为S．
①求出S关于m的关系式；
②在点P的运动过程中，S为何值时，以点M，N，C，O为顶点的四边形会成为平行四边形？
分析 （1）把点C（0，2）坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+c，可以求出c，再利用配方法求出顶点坐标．
（2）先求出A、C坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，把A、C坐标代入解方程组即可．
（3）①用m表示线段AP、PM，代入S=$\frac{1}{2}$•PA•PM即可．
②分两种情形列方程解决问题①P在线段OA上时，②P在线段OB上时．
解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+c与y轴交于点C（0，2），
∴c=2，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{8}$，
∴抛物线顶点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）．
（2）令y=0，则-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0），
设直线AB解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2．
（3）①如图1中，
∵P（m，0），PN⊥AB，
∴M（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∴AP=4+m，PM=$\frac{1}{2}$m+2，
∴S=$\frac{1}{2}$•PA•PM=$\frac{1}{2}$•（m+4）（$\frac{1}{2}$m+2）=$\frac{1}{4}$m2+2m+4，（-4＜m≤1）．
②如图2中，
∵MN∥OC，N（m，-$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m+2），
∴当MN=OC时，四边形MNCO是平行四边形，
当点P在线段OA上时有：-$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=2，解得m=-2，
此时S=$\frac{1}{4}$×4+4+4=10，
当点P在线段OB上时有：（$\frac{1}{2}$m+2）-（-$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m+2）=2，解得m=-2+2$\sqrt{2}$或-2-2$\sqrt{2}$（舍弃），
此时S=3+2$\sqrt{2}$
综上所述，S=10或3+2$\sqrt{2}$时，以点M，N，C，O为顶点的四边形会成为平行四边形．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、三角形面积、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
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如图，在△ABC中，CD、AE是△ABC的两条高．
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