题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．
(1)如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
(2)如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围 ．
【答案】(1)①D（﹣3，1），抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣
x；②存在，点P的坐标为：P（﹣
，
）或（﹣
，﹣
）；(2)a＜﹣
或a＞1+
或﹣＜a＜1-．
【解析】
（1）①为A （0，2），B（-1，0），BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，把原点坐标、点D坐标、a=-1代入抛物线方程，即可求解；
②如下图所示，∠QOB与∠BCD互余，直线OP的方程为y=-
x，将直线方程与抛物线方程联立即可求解，当P在x轴上方时，用同样的方法可以求解；
（2）把D、E坐标代入抛物线方程，解得：y=ax2+4ax+（3a+1），①当a＜0时，若符合条件的Q点的个数是4个，则Q点在x轴上下各2个，则3a+1＜0，然后分Q在x轴上方和x轴下方时两种情况即可求解，同样可以求出a＞0的情况．
(1)为A （0，2），B（﹣1，0），
①点C为线段AB的中点，则C（-，1），
BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，
则D（﹣3，1），∴DC∥x轴，
把原点坐标、点D坐标、a＝﹣1代入抛物线方程，
解得：抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x…①；
②如下图所示，∠QOB与∠BCD互余，
当P在x轴上方时，OP⊥AB，
直线AB的k值为2，则直线OP的k值为﹣，
直线OP的方程为y＝﹣x…②，
①、②联立并整理得：x＝0（舍去），x＝﹣，
则点P（﹣， ）；
当P在x轴上方时，
直线OP的方程为y＝x…③，
①、③联立并整理得：x＝0（舍去），x＝﹣，
则P′（﹣，﹣）；
故：存在，点P的坐标为：P（﹣，）或（﹣，﹣）；
(2)把D、E坐标代入抛物线方程，
解得：y＝ax2+4ax+（3a+1）…④，
函数与y轴交点的纵坐标为：3a+1
有(2)知：当Q在x轴上方时，OQ的方程为：y＝﹣x…⑤，
当Q在x轴下方时，OQ的方程为：y＝x…⑥，
①当a＜0时，若符合条件的Q点的个数是4个，则Q点在x轴上下各2个，则3a+1＜0，即：
，
Q在x轴上方时，联立④、⑤得：-x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2+
＞0，即：必定有2个Q点，
Q在x轴下方时，联立④、⑥得：x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2﹣8a+＞0，a＞1+或a＜1﹣，
故：a＜﹣；
②当a＜0时，若符合条件的Q点的个数是4个，则Q点在x轴上下各2个，则3a+1＞0，即：a＞﹣，
Q在x轴上方时，联立④、⑤得：-x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2+＞0，即：必定有2个Q点，
Q在x轴下方时，联立④、⑥得：x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2﹣8a+＞0，a＞1+或a＜1﹣，
故：a＞1+或﹣＜a＜1-．
综上所述：a＜﹣或a＞1或﹣＜a＜1-．
