Question

如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的而积为，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴四边形OCED是菱形；

（2）解：∵∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°-30°=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形．
过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．
在Rt△DFC中，tan60°=，
∴DF=x．
∴OC•DF=8．
∴x=2．
∴AC=4×2=8．
分析：（1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解．
点评：本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，菱形的判定和性质，以及解直角三角形等知识点．