Question

【题目】如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．

（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；

（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．

①当m＝﹣1时，求n的值；

②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+5，顶点为（1，5）；（2）①n＝1；②﹣1≤m≤1

【解析】

（1）根据待定系数法即可求得；

（2）①把x＝﹣1代入（1）中求得的解析式求得函数y的值，即可求得n的值；

②把y＝1代入抛物线解析式求得对应的x的值，然后根据图象即可求得m的取值范围．

解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)．

∴，解得，

∴该二次函数为y＝﹣x2+2x+4，

∵y＝﹣(x﹣1)2+5，

∴顶点为(1，5)；

（2）∵点C(m，n)在该二次函数图象上，

①当m＝﹣1时，则C(﹣1，n)，

把C(﹣1，n)代入y＝﹣x2+2x+4得，

n=-1-2+4=1，

∴n＝1；

②∵y＝﹣(x﹣1)2+5，

∴当x=3时，y＝﹣(3﹣1)2+5=1，抛物线对称轴是直线x=1，函数的最大值是5，

∴点(3，1)关于关于对称轴的对称点是(-1，1)，抛物线的顶点为(1，5)．

∵当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，

∴m的取值范围是-1≤m≤1．